ĐIỀU KIỆN ĐỂ 3 VECTO TRONG KHÔNG GIAN ĐỒNG PHẲNG

     

Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian được tư tưởng hoàn toàn y như trong phương diện phẳng, chúng có các đặc điểm đã biết.

Bạn đang xem: điều kiện để 3 vecto trong không gian đồng phẳng

Quy tắc hình hộp: mang đến hình vỏ hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$, ta luôn luôn có:

$overrightarrowAC_1$ = $overrightarrowAB$ + $overrightarrowAD$ + $overrightarrowAA_1$

Trọng trung tâm của tứ diện: Điểm G là giữa trung tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ còn khi:

$overrightarrowGA$ + $overrightarrowGB$ + $overrightarrowGC$ + $overrightarrowGD$ = $vec0$.

2. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ. ĐIỀU KIỆN ĐỂ bố VECTƠ ĐỒNG PHẲNG

Định nghĩa: bố vectơ được call là đồng phẳng giả dụ giá của chúng song song cùng với một khía cạnh phẳng.

Định lí 1 (Điều khiếu nại để ba vectơ đồng phẳng): đến hai vectơ không cùng phương $veca$ cùng $vecb$. Lúc đó ba vectơ $veca$, $vecb$, $vecc$ đồng phẳng khi còn chỉ khi có các số m, n làm thế nào để cho $vecc$ = m$veca$ + n$vecb$. Rộng nữa, các số m, n là duy nhất.

Định lí 2: Nếu bố vectơ $veca$, $vecb$ cùng $vecc$ không đồng phẳng thì cùng với vectơ $vecd$ bất kì, ta đều tìm được các số m, n, p làm thế nào cho $vecd$ = m$veca$ + n$vecb$ + p$vecc$. Hơn nữa, những số m, n, p. Là duy nhất.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: chứng tỏ một đẳng thức vectơ.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng:

• Quy tắc tía điểm: Ta có:

$overrightarrowAB$ = $overrightarrowAC$ + $overrightarrowCB$, xen điểm C.

$overrightarrowAB$ - $overrightarrowAC$ = $overrightarrowCB$, hiệu nhị vectơ cùng gốc.

• nguyên tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD luôn có:

$overrightarrowAC$ = $overrightarrowAB$ + $overrightarrowAD$.

• luật lệ hình hộp: mang đến hình vỏ hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$, ta luôn có:

$overrightarrowAC_1$ = $overrightarrowAB$ + $overrightarrowAD$ + $overrightarrowAA_1$

• quy tắc trung điểm: cùng với điểm M tuỳ ý với I là trung điểm của AB luôn có:

$overrightarrowMI$ = $large frac12$($overrightarrowMA$ + $overrightarrowMB$)

• trọng tâm của tam giác: Điểm G là trung tâm của $Delta$ABC khi và chỉ còn khi:

$overrightarrowGA$ + $overrightarrowGB$ + $overrightarrowGC$ = $vec0$.

• giữa trung tâm của tứ diện: Điểm G là trung tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi:

$overrightarrowGA$ + $overrightarrowGB$ + $overrightarrowGC$ + $overrightarrowGD$ = $vec0$.

• Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ cùng phép nhân một số trong những với một vectơ.

Để thực hiện phép thay đổi tương đương đến đẳng thức đề xuất chứng minh. Cùng khi đó, ta lựa lựa chọn một trong các hướng đổi khác sau:

Hướng 1: đổi khác một vế thành vế còn lại (VT ⇒ VP hoặc VP ⇒ VT).

Khi đó:

• Nếu khởi nguồn từ vế phức hợp ta cần triển khai việc đơn giản dễ dàng biểu thức.

• Nếu xuất phát từ vế đơn giản dễ dàng ta cần triển khai việc so với vectơ.

Hướng 2: thay đổi đẳng thức cần minh chứng về một đẳng thức đã biết là luôn luôn đúng.

Hướng 3: chuyển đổi một đẳng thức vectơ sẽ biết là luôn luôn đúng thành đẳng thức đề nghị chứng minh.

Hướng 4: sản xuất dựng các hình phụ.

Ví dụ 1: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD, minh chứng rằng:

$overrightarrowMA$ + $overrightarrowMB$ + $overrightarrowMC$ + $overrightarrowMD$ = 4$overrightarrowMG$, với mọi điểm M.

Giải

*

Gọi I cùng J theo thứ tự là trung điểm của AB với CD, áp dụng quy tắc cha điểm bằng cách xen vào giữa, ta theo thứ tự có:

$overrightarrowMA$ = $overrightarrowMG$ + $overrightarrowGA$,

$overrightarrowMB$ = $overrightarrowMG$ + $overrightarrowGB$,

$overrightarrowMC$ = $overrightarrowMG$ + $overrightarrowGC$,

$overrightarrowMD$ = $overrightarrowMG$ + $overrightarrowGD$

suy ra: $overrightarrowMA$ + $overrightarrowMB$ + $overrightarrowMC$ + $overrightarrowMD$ = 4$overrightarrowMG$ + ($overrightarrowGA$ + $overrightarrowGB$ + $overrightarrowGC$ + $overrightarrowGD$) = 4$overrightarrowMG$ , đpcm.

Ví dụ 2: mang lại hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$. Gọi P, R theo thiết bị tự là trung điểm của AB, $A_1D_1$, gọi $P_1$, Q, $Q_1$, $R_1$ theo thiết bị tự là giao điểm của những đường chéo của những mặt ABCD, $CDD_1C_1$, $A_1B_1C_1D_1$, $ADD_1A_1$:

a. Minh chứng rằng $overrightarrowPP_1$ + $overrightarrowQQ_1$ + $overrightarrowRR_1$ = $vec0$.

b. Chứng tỏ hai tam giác PQR và $P_1Q_1R_1$ có trọng tâm trùng nhau.

Giải

*

a. Ta có:

*

suy ra:

*

b. Call G, $G_1$ theo sản phẩm công nghệ tự là trọng tâm các tam giác PQR với $P_1Q_1R_1$ ta có:

*

suy ra:

*

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Trong ko gian, mang lại hai tam giác ABC và $A_1B_1C_1$ theo thiết bị tự có những trọng trọng điểm là G cùng $G_1$. Minh chứng rằng:

$overrightarrowAA_1$ + $overrightarrowBB_1$ + $overrightarrowCC_1$ = 3$overrightarrowGG_1$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD.

a. Hotline I, J theo trang bị tự là trung điểm của AC, BD. Minh chứng rằng:

$overrightarrowAB$ + $overrightarrowCD$ = $overrightarrowAD$ + $overrightarrowCB$ = 2$overrightarrowIJ$.

b. điện thoại tư vấn E, F là nhì điểm mãn nguyện $overrightarrowEA$ = t$overrightarrowEB$, $overrightarrowFC$ = t$overrightarrowFD$, với t $ eq$ 0, 1.

Chứng minh rằng:

$overrightarrowAC$ = t$overrightarrowBD$ + (1 – t)$overrightarrowEF$.

Bài 3. mang đến tứ diện ABCD. Hotline E là giữa trung tâm $Delta$BCD, I, $I_1$, J, $J_1$, K, $K_1$ theo vật dụng tự là trung điểm của AB, CD, CA, BD, AD, BC. Điểm G bằng lòng hệ thức:

$overrightarrowGA$ + $overrightarrowGB$ + $overrightarrowGC$ + $overrightarrowGD$ = $vec0$.

Chứng minh rằng:

a. $overrightarrowII_1$ + $overrightarrowJJ_1$ + $overrightarrowKK_1$ = 2$overrightarrowAG$.

b. $overrightarrowGA$ + 3$overrightarrowGE$ = $vec0$.

Bài 4. Cho hành hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$, hotline I là giao điểm của $AC_1$ với phương diện phẳng ($BDA_1$). Chứng tỏ rằng:

*

Bài 5. cho tứ diện ABCD, lấy các điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ theo đồ vật tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Giả sử mãi sau điểm O sao cho:

*

Chứng minh rằng:

*

Bài toán 2: Xét tính đồng phẳng, ko đồng phẳng của ba vectơ.

PHƯƠNG PHÁP bình thường

1. Để chứng minh ba vectơ $veca$, $vecb$, $vecc$ đồng phẳng, ta đi chứng minh tồn tại cặp số thực m, n, sao cho:

$vecc$ = m$veca$ + n$vecb$. (1)

Chú ý: trong trường hợp câu hỏi yêu cầu xác định điều khiếu nại của tham số để cha vectơ $veca$, $vecb$, $vecc$ đồng phẳng ta sẽ bắt nguồn từ điều kiện (1).

2. Để minh chứng ba vectơ $veca$, $vecb$, $vecc$ không đồng phẳng, ta đi bệnh minh:

m$veca$ + n$vecb$ + p$vecc$ = $vec0$ ⇔ m = n = p. = 0.

Ví dụ 1: mang đến tứ diện ABCD. điện thoại tư vấn M và N theo thứ tự là trung điểm của AB với CD. Chứng tỏ rằng tía vectơ $overrightarrowBC$, $overrightarrowMN$, $overrightarrowAD$ đồng phẳng.

Giải

*

Từ giả thiết, ta có:

*

⇒ BC, MN, AD ở trên cha mặt phẳng tuy nhiên song

⇒ ba vectơ $overrightarrowBC$, $overrightarrowMN$, $overrightarrowAD$ đồng phẳng.

Ví dụ 2: mang lại tứ diện OABC. Tía điểm M, N, phường trong không khí thoả mãn:

*

a. Khẳng định t để ba vectơ $overrightarrowOM$, $overrightarrowON$, $overrightarrowOP$ đồng phẳng.

b. đến t = 0, hãy trình diễn vectơ $vecv$ = 5$overrightarrowOA$ + 10$overrightarrowOB$ - 15$overrightarrowOC$ theo cha vectơ $overrightarrowOM$, $overrightarrowON$, $overrightarrowOP$.

Giải

a. Để $overrightarrowOM$, $overrightarrowON$, $overrightarrowOP$ đồng phẳng điều kiện là mãi mãi cặp số thực $alpha$, $eta$, sao cho:

*

b. Với t = 0, ta được:

*

Giải hệ phương trình tạo do (1), (2), (3) theo các ẩn $overrightarrowOA$, $overrightarrowOB$, $overrightarrowOC$, ta được:

*

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 6. Trong ko gian, cho ba vectơ $veca$, $vecb$, $vecc$ khác vectơ không.

Xem thêm: Những Năm Đầu Nhà Lý Thành Lập Năm Nào ? Nhà Lý Được Thành Lập Trong Hoàn Cảnh Nào

a. Ví như $veca$ – 3$vecb$ – 4$vecc$ = $vec0$ thì cha vectơ $veca$, $vecb$, $vecc$ bao gồm đồng phẳng ko ?

b. đưa sử ta có:

$alpha$$veca$ + $eta$$vecb$ + $gamma$$vecc$ = $vec0$

Với điều kiện nào của $alpha$, $eta$, $gamma$ để bố vectơ $veca$, $vecb$, $vecc$

• Đồng phẳng.

• không đồng phẳng.

Bài 7. đến tứ diện OABC, đặt:

*

Xác định t để bố vectơ $veca$, $vecb$, $vecc$ đồng phẳng.

Bài 8. Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không tồn tại ba điểm làm sao thẳng hàng. O là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi còn chỉ khi tồn tại bốn số $alpha$, $eta$, $gamma$, $eta$ sao cho:

*

Bài 9. Mang lại tứ diện OABC, call $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ là các điểm trực thuộc AB, BC, CD, domain authority sao cho:

*

a. Minh chứng rằng cùng với điểm O bất kỳ trong không khí ta luôn có:

*

b. Xác minh giá trị của t để tư điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ đồng phẳng.

Bài toán 3: màn biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta lựa chọn 1 trong nhì hướng:

Hướng 1: Từ giả thiết xác minh được đặc thù hình học, rồi từ kia khai triển vectơ cần trình diễn bằng cách thức xen điểm hoặc hiệu của nhị vectơ thuộc gốc.

Hướng 2: Từ giả thiết tùy chỉnh được mối liên hệ vectơ giữa các đối tượng, rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương thức xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ thuộc gốc.

Ví dụ 1: cho hình chóp SABC. Đáy ABC có giữa trung tâm G. Hãy so với vectơ $overrightarrowSA$ theo bố vectơ $overrightarrowSB$, $overrightarrowSG$, $overrightarrowBC$.

Giải

*

Ta có:

$overrightarrowSA$ = $overrightarrowSG$ + $overrightarrowGA$

$overrightarrowSB$ = $overrightarrowSG$ + $overrightarrowGB$

$overrightarrowSC$ = $overrightarrowSG$ + $overrightarrowGC$

suy ra:

*

Ví dụ 2: mang lại tứ diện ABCD. Gọi $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ là các điểm thoả mãn:

*

Đặt $overrightarrowAB$ = $veci$, $overrightarrowAC$ = $vecj$, $overrightarrowAD$ = $veck$. Hãy biểu diễn những vectơ $overrightarrowA_1B_1$, $overrightarrowA_1C_1$, $overrightarrowA_1D_1$ theo cha vectơ $veci$, $vecj$, $veck$.

Giải

*

Ta theo thứ tự có:

*

*

Từ đó, ta lần lượt có:

*

Tổng quát mắng hoá: mang lại tứ diện ABCD. Hotline $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ là các điểm thoả mãn:

*

với t $ eq$ 0, 1. Đặt $overrightarrowAB$ = $veci$, $overrightarrowAC$ = $vecj$, $overrightarrowAD$ = $veck$. Hãy biểu diễn những vectơ $overrightarrowA_1B_1$, $overrightarrowA_1C_1$, $overrightarrowA_1D_1$ theo tía vectơ $veci$, $vecj$, $veck$.

Bằng phương thức tương từ như đã trình bày trong giải thuật trên, chúng ta sẽ nhận được kết quả:

*

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 10. Mang đến tứ diện ABCD, call G là trọng tâm $Delta$ABC, để $overrightarrowDA$ = $veci$, $overrightarrowDB$ = $vecj$, $overrightarrowDC$ = $veck$. Hãy biểu diễn những vectơ $overrightarrowGA$, $overrightarrowGB$, $overrightarrowGC$ theo tía vectơ $veci$, $vecj$, $veck$.

Bài 11. Mang lại hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ gồm tâm O, gọi I là trọng điểm của mặt $CDD_1C_1$. Hãy phân tích các vectơ $overrightarrowAO$, $overrightarrowAI$ theo bố vectơ $overrightarrowAB$, $overrightarrowAD$, $overrightarrowAA_1$

Bài 12. Mang đến tứ diện vuông OABC, vuông tại O cùng OA = OB = OC. Điểm M thoả mãn $mid overrightarrowOMmid$ = OA, nửa mặt đường thẳng OM tạo với tia OC một góc bởi 45° và tạo nên với nhì tia OA, OB thành nhì góc nhọn bằng nhau. Hãy đối chiếu vectơ $overrightarrowOM$ theo cha vectơ $overrightarrowOA$, $overrightarrowOB$, $overrightarrowOC$.

Bài 13. đến hình hộp chữ nhật $ABCD.A_1B_1C_1D_1$. Đặt $overrightarrowB_1A_1$ = $veci$, $overrightarrowB_1B$ = $vecj$, $overrightarrowB_1C_1$ = $veck$. M, N là hai điểm theo thứ tự nằm trong $AC_1$, $CD_1$ cùng thoả mãn:

$overrightarrowMA$ = $alpha$ $overrightarrowMC_1$, $overrightarrowNC$ = $eta$$overrightarrowND_1$

a. Hãy biểu diễn những vectơ $overrightarrowB_1M$, $overrightarrowB_1N$ theo bố vectơ $veci$, $vecj$, $veck$ cùng $alpha$, $eta$.

b. Khẳng định $alpha$, $eta$ nhằm MN // $B_1D$.

c. Tính độ nhiều năm đoạn thẳng MN.

Bài 14. Cho hình vỏ hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$. Chứng tỏ rằng hình vỏ hộp này là hình hộp chữ nhật khi còn chỉ khi:

*

Bài toán 4: khẳng định điểm M thoả một đẳng thức vectơ đến trước.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Ta đổi khác đẳng thức vectơ mang đến trước về dạng

$overrightarrowOM$ = $vecv$, trong những số ấy điểm O và vectơ $vecv$ sẽ biết.

2. Nếu còn muốn dựng điểm M, ta đem O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ $vecv$, lúc đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M.

Ví dụ 1: mang lại hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$.

a. Minh chứng rằng $overrightarrowAC_1$ + $overrightarrowA_1C$ = 2$overrightarrowAC$.

b. Xác định vị trí của điểm O sao cho:

*

c. Chứng tỏ rằng khi đó với mọi điểm M trong không gian ta luôn có:

*

Giải

a. Ta có:

*

b. điện thoại tư vấn O là giao điểm của $AC_1$ và $A_1C$, ta gồm ngay:

*

c. Ta có:

*

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 15. cho tứ diện ABCD. Kiếm tìm điểm G sao cho:

$overrightarrowGA$ + $overrightarrowGB$ + $overrightarrowGC$ + $overrightarrowGD$ = $vec0$.

Chứng tỏ rằng điểm G đó là duy duy nhất và lúc ấy G gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Bài 16. đến hình chóp SABCD. Tìm kiếm điểm O sao cho:

$overrightarrowOA$ + $overrightarrowOB$ + $overrightarrowOC$ + $overrightarrowOD$ + $overrightarrowOS$ = $vec0$.

Bài 17. Trong ko gian, cho tía điểm A, B, C cố định và thắt chặt không thẳng hàng, M là điểm di động.

a. Chứng minh rằng vectơ $vecv$ = 2$overrightarrowMA$ + $overrightarrowMB$ - 3$overrightarrowMC$ là 1 trong vectơ không nhờ vào vào vị trí của điểm M.

b. $M_0$ là điểm thoả mãn $overrightarrowAM_0$ = $vecv$ và giả sử con đường thẳng $AM_0$ giảm BC trên N. Chứng tỏ rằng $overrightarrowNB$ = 3$overrightarrowNC$.

c. điện thoại tư vấn (P) là mặt phẳng đi qua tâm con đường tròn nước ngoài tiếp $Delta$ABC và vuông góc với $vecv$. Minh chứng rằng khi M dịch rời trong phương diện phẳng (P) thì tổng sau có giá trị không đổi:

*

Bài 18. mang đến tứ diện ABCD. điện thoại tư vấn E là giữa trung tâm $Delta$BCD, I, $I_1$, J, $J_1$, K, $K_1$ theo lắp thêm tự là trung điểm của AB, CD, CA, BD, AD, BC. Điểm G ưng ý hệ thức:

$overrightarrowGA$ + $overrightarrowGB$ + $overrightarrowGC$ + $overrightarrowGD$ = $vec0$.

Chứng minh rằng:

a.

*

b. Cha điểm A, E, G trực tiếp hàng.

Bài toán 5: tra cứu quỹ tích lũy M thoả mãn điều kiện K.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với những bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng:

1. Ví như |$overrightarrowMA$| = |$overrightarrowMB$|, cùng với A, B cho trước thì M thuộc phương diện phẳng trung trực của đoạn AB.

2. |$overrightarrowMC$| = k|$overrightarrowAB$|, với A, B, C đến trước thì M trực thuộc mặt ước tâm C, nửa đường kính bằng k.AB.

3. Ví như $overrightarrowMA$ = k$overrightarrowBC$, với A, B, C mang lại trước thì:

• với k $in$ R điểm M thuộc đường thẳng qua A tuy vậy song với BC.

• cùng với k $in$ $R^+$ điểm M ở trong nửa đường thẳng qua A tuy nhiên song với BC theo hướng $overrightarrowBC$.

• với k $in$ $R^-$ điểm M thuộc nửa mặt đường thẳng qua A song song với BC ngược phía $overrightarrowBC$.

Ví dụ 1: Trong ko gian, cho bố điểm A, B, C thắt chặt và cố định không trực tiếp hàng, tra cứu tập hợp các điểm M sao cho:

*

Giải

Gọi G là trung tâm $Delta$ABC, ta biến đổi được (1) về dạng:

*

⇔ M nằm trong mặt ước tâm G, nửa đường kính GA.

Ví dụ 2: đến tứ diện ABCD, nhì điểm M, N thoả mãn:

*

Chứng tỏ rằng lúc t biến đổi thì trung điểm I của MN di chuyển trên một mặt đường thẳng ráng định.

Xem thêm: Học Sinh Có Cần Bằng Lái Xe Máy Đi Xe Máy Điện Có Cần Bằng Lái Không ?

Giải

*

Gọi E, F theo máy tự là trung điểm của AB và CD, ta có:

*

*

suy ra:

*

Vậy, khi t biến đổi thì trung điểm I của MN di chuyển trên đường thẳng EF

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 19. Cho tía tia Ax, By, Cz tuy nhiên song, cùng hướng cùng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Call M, N, phường là cha điểm cầm tay theo trang bị tự trên các tia Ax, By, Cz làm sao cho $overrightarrowAM$ = $overrightarrowBN$ = $overrightarrowCP$.