Chuyãªn ä‘ề phã¢n tã­ch ä‘a thức thã nh nhã¢n tá»­ vã  á»©ng dụng

     

Phân tích nhiều thức thành nhân tử là kiến thức và kỹ năng cơ sở cho những bài học tập về nhân chia đối chọi thức, nhiều thức đặc biệt quan trọng trong những biểu thức phân số gồm chứa trở thành trong công tác toán 8 và cả các lớp sau này.

Bạn đang xem: Chuyãªn ä‘ề phã¢n tã­ch ä‘a thức thã nh nhã¢n tá»­ vã  á»©ng dụng


Chính vì vậy, mà bài toán nắm vững các cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung, đội hạng tử, hay phương pháp dùng hằng đẳng thức là điều rất nên thiết. Bài viết dưới đây vẫn tổng vừa lòng các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử và vận dụng giải những dạng bài tập này.

I. Các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử

Bạn đang xem: Các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử và bài tập áp dụng – Toán lớp 8


1. Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

– Tìm nhân tử tầm thường là những đối kháng thức, nhiều thức có mặt trong toàn bộ các hạng tử.

– phân tích mỗi hạng tử các thành tích của nhân tử thông thường và một nhân tử khác.

– Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử sót lại của từng hạng tử vào trong dấu ngoặc (và cả vết của chúng).

 * Ví dụ. phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.

 a) 15x3 – 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 – x + 2)

 b) 28x2y2 – 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy – 3y + 2x)

2. Phân tích đa thức thành nhân tử với cách thức dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

– chuyển đổi đa thức các bạn đầu về dạng không còn xa lạ của hằng đẳng thức, tiếp đến sử dụng hằng đẳng thức để gia công xuất hiên nhân tử chung.

– Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ:

 ♦ (A+B)2= A2+2AB+B2

 ♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2

 ♦ A2–B2= (A-B)(A+B)

 ♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

 ♦ (A – B)3= A3– 3A2B+ 3AB2– B3

 ♦ A3+ B3= (A+B)(A2– AB +B2)

 ♦ A3– B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

 ♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

 b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2  + 9x2y4)

 c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

* Phương pháp:

– phối kết hợp các hạng tử phù hợp thành từng nhóm.

– Áp dụng thường xuyên các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc sử dụng hằng đẳng thức.

* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử

 a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

 b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 – 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Cách thêm sút 1 hạng tử hoặc bóc tách hạng tử để phân tích nhiều thức thành nhân tử

* Phương pháp:

– vận dụng thêm giảm hạng tử linh hoạt để lấy về nhóm hạng tử phổ biến hoặc dùng hằng đẳng thức

 * Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) x4 + 4 = x4 + (4x2 – 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2+2)2 – 4x2

= (x2+2-2x)(x2+2+2x)

 b) x4 + 1 = x4 + 2x2 – 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – 2x2 = (x2+1)2 – 2x2 = (x2+1)2 – (x√2)2

= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)

 c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 – 4) + 8(x+2)

 =3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)

 hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2

 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)

5. Phối phù hợp nhiều phương thức để phân tích nhiều thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụng các cách thức trên theo thứ tự ưu tiên.

– cách thức đặt nhân tử chung.

– phương thức dùng hằng đẳng thức.

– phương thức nhóm những hạng tử.

 * Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

 a) 3xy2 – 6xy + 3x

= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A là y B là 1)

 b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

= 2((x2 + 2x +1) – y2) (đặt nhân tử chung)

= 2((x+1)2 – y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong đoạn này A là x; B là 1)

= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong đoạn này A là x+ 1 còn B là y)

*

II. Vận dụng giải một trong những dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

 a) 3x – 6y;

 b)

*
;

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;

 d)

*
;

 e) 10x(x – y) – 8y(y – x).

* giải mã bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

 a) 3x – 6y = 3(x-2y)

 b)

*
*

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

 d) 

*
*

 e) 10x(x – y) – 8y(y – x)

– Ta thấy: y – x = –(x – y) phải ta có:

 10x(x – y) – 8y(y – x) =10x(x – y) – 8y<-(x – y)> =10x(x – y) + 8y(x – y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính quý giá của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x – 1) – y(1 – x) trên x = 2001 cùng y = 1999.

Xem thêm: Nạp Nhầm Tiền Vào Số Điện Thoại Khác, Cách Lấy Lại Tiền Nạp Nhầm Số Điện Thoại Mobifone

* lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

– lưu lại ý: cùng với dạng bài bác tập này họ cần so với hạng tử để xuất hiện thêm nhân tử thông thường rồi phân tích thành nhân tử trước lúc tính giá chỉ trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x – 1) – y(1 – x)

– Ta thấy: 1 – x = -(x – 1) phải ta có:

 x(x – 1) – y(1 – x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

– Thay x = 2001 và y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0;

b) x3 – 13x = 0

* giải thuật bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

⇔⇔

– tóm lại có 2 giá trị x vừa lòng là x = 2000 cùng x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0

⇔ ⇔

– Kết luận: Có tía giá trị của x vừa lòng là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:  minh chứng rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số từ nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: 

– Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 – 55n = 55n (55 – 1) = 55n.54

– vì 54 phân chia hết đến 54 đề xuất 55n.54 luôn chia hết mang đến 54 cùng với n là số từ bỏ nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết đến 54.

Bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) ; d)

* giải thuật bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 – 10x + 25)

= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2

c)

*
*
*

d) 

*
*

Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a)  ; b) (a + b)3 – (a – b)3 

c) (a + b)3 + (a – b)3 ;

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) – x3 + 9x2 – 27x + 27.

* lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: 

a)

*
*
*

b) (a + b)3 – (a – b)3

= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>

= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>

= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>

= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 – 25x2 = 0

b) 

* lời giải bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) 2 – 25x2 = 0 

*

– Kết luận: vậy gồm 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 cùng x= √2/5.

b) 

*
*
*

– Kết luận: vậy có một nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732 – 272 ; b) 372 – 132 ; c) 20022 – 22

* lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

* giải mã bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử lắp thêm 1 với thứ 2, hạng tử lắp thêm 3 cùng thứ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) giải pháp 2: Nhóm hạng tử sản phẩm công nghệ 1 với thứ 3 ; hạng tử thứ hai và sản phẩm công nghệ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử thứ nhất với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) biện pháp 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử sản phẩm công nghệ 3; hạng tử thứ hai với hạng tử vật dụng 4:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 4x –y2 + 4

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

* giải mã Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 4x – y2 + 4

= (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 

= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)

= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>

= 3<(x + y)2 – z2>

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) 

= (x – y)2 – (z – t)2

= <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)>

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* lời giải bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

⇔  

– Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

– Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x.

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2 – y2 + 16

* giải mã bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x.1

= x(x2 – 2x + 1)

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)

= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>

= 2<(x + 1)2 – y2>

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16

= 16 – (x2 – 2xy + y2) 

= 42 – (x – y)2

= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết mang đến 5 với đa số số nguyên n.

* giải mã bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

– Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

– bởi vì 5 ⋮ 5 cần 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2

b) x2 + x – 6

c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương thức đã học nhằm phân tích nhưng mà nếu bóc hạng tử – 3x = – x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 với từ đó thuận tiện phân tích tiếp.

Xem thêm: Đề Kiểm Tra 1 Tiết Hóa 8 Chương 4 Có Đáp Án Chi Tiết, Đề Kiểm Tra 45 Phút (1 Tiết)

Cũng bao gồm thể tách bóc 2 = – 4 + 6, lúc ấy ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, tự đó dễ dãi phân tích tiếp)

* lời giải bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x2 – 3x + 2

= x2 – x – 2x + 2

= (x2 – x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1)

= (x – 1)(x – 2)

Hoặc: x2 – 3x + 2

= x2 – 3x – 4 + 6

= x2 – 4 – 3x + 6

= (x2 – 22) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x2 + x – 6

= x2 + 3x – 2x – 6

= x(x + 3) – 2(x + 3)

= (x + 3)(x – 2)

c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x2 + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(x + 3)

III. Bài xích tập về phân tích nhiều thức thành nhân tử

– học sinh tự luyện tập

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) x2 – y2 – 2x + 2y

 2) 2x + 2y – x2 – xy 

 3) x2 – 25 + y2 + 2xy

 4) x2 – 2x – 4y2 – 4y

 5) x2y – x3 – 9y + 9x

 6) x2(x -1) + 16(1- x)

Bài tập 2: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

 2) x3 + x2y – 4x – 4y

 3) 3(x+ 4) – x2 – 4x

 4) x3 – 3x2 + 1 – 3x 

 5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y

 6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2

 7) x2 – xy + x – y

 8) x2 – 2x – 15

Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) 2x2 + 3x – 5

 2) x2 + 4x – y2 + 4

 3) 2x2 – 18

 4) x3 – x2 – x + 1

 5) x2 – 7xy + 10y2

 6) x4 + 6x2y + 9y2 – 1

 7) x3 – 2x2 + x – xy2

 8) ax – bx – a2 + 2ab – b2

Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) x4y4 + 4 2) x7 + x2 + 1

 3) x4y4 + 64 4) x8 + x + 1

 5) x8 + x7 + 1 6) 32x4 + 1

 7) x8 + 3x4 + 1 8) x4 + 4y4 

 9) x10 + x5 + 1

Bài tập 5: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2

 2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1

 3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

 4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2

 5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2

 6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3

 7) x4 – 13x2 + 36

 8) x4 + 3x2 – 2x + 3

 9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Bài tập 6: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

 2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3

 3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

 4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

 5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8

 6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24

 7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12

 8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8

 9) x3 + 9x2 + 26x + 24

Bài tập 7: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

 2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

 3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

 4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

 5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20

 6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35

 7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

 8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12

 9) 4(x2 + 15x + 50) – (x2 + 18x + 74) – 3x2

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các cách thức phân tích đa thức thành nhân tử cùng những dạng bài bác tập phân tích nhiều thức thành nhân tử ngơi nghỉ trên có ích với các em. Hầu như góp ý và thắc mắc những em phấn kích để lại phản hồi dưới nội dung bài viết để HayHocHoi.Vn nghi nhận cùng hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.