(1-2Sinx)Cosx/(1+2Sinx)(1-Sinx)=Căn 3

     
câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương 1: Hàm con số giác và phương trình lượng giác (có đáp án)
*
Giải vì chưng Vietjack

Đáp án B


Tìm số nghiệm thuộc khoảng (π2; 3π)của phương trình:

sin(2x + 5π2) - 3cos(x - 7π2) = 1 + 2sinx (*)


1. Hàm số sin cùng hàm số côsin

a) Hàm số sin

- phép tắc đặt tương ứng mỗi số thực x cùng với số thực sinx

sin:     ℝ  →  ℝ              x  ↦  y=sinx

được điện thoại tư vấn là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Bạn đang xem: (1-2sinx)cosx/(1+2sinx)(1-sinx)=căn 3

Tập khẳng định của hàm số sin là ℝ.

b) Hàm số côsin

- phép tắc đặt khớp ứng mỗi số thực x với số thực cosx:

cos:     ℝ  →  ℝ              x  ↦  y=cosx

được hotline là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.

Tập khẳng định của hàm số côsin là ℝ.

2. Hàm số tang với hàm số côtang

a) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được khẳng định bởi công thức:y  =  sinxcosx        (​cosx≠0)

Kí hiệu là y = tanx.

Vì cosx ≠ 0 khi và chỉ còn khi x  ≠π2  +  kπ   (k  ∈ℤ) bắt buộc tập khẳng định của hàm số y = tanx là D  =  ℝπ2  +  kπ ; k  ∈ℤ.

b) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được khẳng định bởi công thức:y  =  cosxsin x    ( sin x≠0)

Kí hiệu là y = cot x.

Vì sinx ≠ 0 khi và chỉ khix  ≠  kπ   (k ∈ℤ) cần tập xác định của hàm số y = cotx là D  =  ℝ kπ ; k  ∈ℤ.

- dìm xét:

Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn. Từ đó, suy ra những hàm số y = tanx và y = cotx là hầu hết hàm số lẻ.

3. Tính tuần trả của hàm số lượng giác

- Số T = 2π là số dương nhỏ tuổi nhất vừa lòng đẳng thức: sin(x + T) = sinx ; ∀x  ∈ℝ.

- Hàm số y = sinx vừa lòng đẳng thức trên được call là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Tương tự; hàm số y = cosx là hàm số tuần trả với chu kì 2π.

- các hàm số y = tanx cùng y = cotx cũng là đều hàm số tuần hoàn, cùng với chu kì π.

4. Sự biến thiên với đồ thị của hàm con số giác.

4.1 Hàm số y = sinx.

Từ khái niệm ta thấy hàm số y = sinx :

+ khẳng định với số đông x∈R với – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần trả với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a) Sự biến thiên với đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn <0; π>.

Hàm số y = sinx đồng biến hóa trên 0 ;  π2và nghịch trở nên trên  π2;  π.

Bảng đổi thay thiên:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn <0; π> đi qua những điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).

- Chú ý:

Vì y = sinx là hàm số lẻ buộc phải lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn <0; π> qua cội tọa độ O, ta được đồ dùng thị hàm số trên đoạn <– π; 0>.

Đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn <– π; π> được biểu diễn như hình vẽ bên dưới đây:

b) Đồ thị hàm số y = sinx trên .

Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π nên với đa số x ta có:

sin  (x+​ k2π) =sinx;   k ∈  ℤ

Do đó, hy vọng có đồ vật thị hàm số y = sinx trên tổng thể tập xác minh R, ta tịnh tiến tiếp tục đồ thị hàm số trên đoạn <– π; π> theo những vecto v→ =  (2π;  0)và  − v→ =  (−2π;  0), tức là tịnh tiến tuy nhiên song với trục hoành từng đoạn bao gồm độ dài 2π.

Dưới đấy là đồ thị hàm số y = sinx bên trên R:

c) Tập cực hiếm của hàm số y = sinx

Tập quý giá của hàm số này là <– 1; 1>.

4.2 Hàm số y = cosx.

Từ khái niệm ta thấy hàm số y = cosx:

+ xác định với hầu như x ∈R với – 1 ≤ cosx ≤ 1.

+ Là hàm số chẵn.

+ Là hàm số tuần trả với chu kì 2π.

Với hầu như x∈R ta có:sin x  +​  π2  =  cos x .

Từ đó, bằng phương pháp tịnh tiến thiết bị thị hàm số y = sinx theo vecto u→ =  −π2; 0(sang trái một đoạn bao gồm độ dài bằng π2, song song cùng với trục hoành), ta được đồ thị hàm số y = cos x.

+ Hàm số y = cos x đồng biến đổi trên đoạn <– π; 0> cùng nghịch biến chuyển trên đoạn <0; π>.

+ Bảng phát triển thành thiên:

+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là <– 1; 1>.

+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi thông thường là các đường hình sin.

4.3 Hàm số y = tanx.

Từ định nghĩa hàm số y = chảy x:

+ tất cả tập xác định:D  =  ℝ π2  + kπ;  k∈ℤ .

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

a) Sự đổi thay thiên và đồ thị hàm số y = tanx bên trên nửa khoảng0;  π2

+ Hàm số y = tanx đồng biến chuyển trên nửa khoảng 0;  π2.

+ Bảng đổi thay thiên:

+ báo giá trị:

Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng tầm 0;  π2đi qua những điểm tìm kiếm được.

b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D.

Vì y = tanx là hàm số lẻ yêu cầu đồ thị hàm số có tâm đối xứng là cội tọa độ O. Mang đối xứng qua trọng tâm O đồ vật thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng tầm 0;  π2, ta được trang bị thị hàm số trên nửa khoảng tầm −π2;  0.

Từ đó, ta được thứ thị hàm số y = tanx trên khoảng tầm −π2;  π2.

- bởi vì hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π phải tịnh tiến đồ dùng thị hàm số trên khoảng −π2;  π2song tuy vậy với trục hoành từng đoạn bao gồm độ lâu năm π, ta được đồ dùng thị hàm số y = tanx trên D.

+ Tập giá trị của hàm số y = tanx là (−∞;  +​∞).

4.4 Hàm số y = cot x

Hàm số y = cotx:

+ có tập xác định là D  = ℝ kπ; k∈ℤ.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần trả với chu kì π.

a) Sự vươn lên là thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hàm số y = cotx nghịch biến chuyển trên khoàn (0; π).

Bảng đổi mới thiên:

Hình màn trình diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

b) Đồ thị hàm số y = cotx bên trên D.

Đồ thị hàm số y = cotx trên D được màn trình diễn như hình sau:

Tập giá trị của hàm số y = cotx là −∞;+∞.

5. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường đúng theo |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với tất cả x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bởi radian của một cung lượng giác. Lúc đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

x = α  +​  k2π   ;  k ∈ℤ; x =π−   α  +​  k2π   ;  k ∈ℤ

Nếu số thực α vừa lòng điều kiện: −π2 ≤α≤π2sin α  =athì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; tức thị cung tất cả sin bởi a). Lúc đó, những nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

x =arcsina  +​  k2π   ;  k ∈ℤ; x =π−   arcsina  +​  k2π   ;  k ∈ℤ

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một trong những cho trước, có các nghiệm là:

x  =  α  +​  k2π vàx  =π−   α  +​  k2π  ;  k∈ℤ

Tổng quát: sinf(x)=sing(x) ⇔f(x) = g(x)+​  k2π;   k∈ℤf(x) =π−  g(x)+​  k2π;   k∈ℤ.

b) Phương trình sinx = sinβ° có những nghiệm là:

x = β° + k.360° với x = 180° – β° + k.360° .

c) vào một bí quyết về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ với radian.

d) các trường hợp sệt biệt:

+ lúc a = 1: Phương trình sinx = 1 có những nghiệm là x  =  π2  +​  k2π;  k∈ℤ.

+ khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là x  =  −π2  +​  k2π;  k∈ℤ.

+ lúc a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là x  =  kπ;  k∈ℤ.

- Ví dụ. Giải các phương trình:

a) sinx  = 32 ;

b) sinx=  23.

Lời giải:

a) vày 32 =  sin π3 nênsinx  = 32 ⇔  sinx =  sin π3

Vậy phương trình có các nghiệm là:x=   π3 + k2π ;  k∈ℤ vàx=  π−  π3 + k2π = 2π3 + k2π ;  k∈ℤ

b) Ta có: sinx=  23 khix= arcsin 23

Vậy phương trình đã cho có những nghiệm là:

x=  arcsin 23  +  k2π;  k∈ℤvà .x=π−  arcsin 23  +  k2π;  k∈ℤ

6. Phương trình cosx = a.

- Trường đúng theo |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì với tất cả x.

- Trường hợp  a   ≤1.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Lúc đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là:

x  =  ±α  +  k2π;  k∈ℤ

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x  =  ±α  +  k2π;  k∈ℤ.

Tổng quát: cosf(x) = cosg(x)⇔f(x)​​ =  ±g(x)  +  k2π;  k∈ℤ .

b) Phương trình cos x= cosβ° có những nghiệm là x =  ±β0  +​ k3600;  k∈ℤ.

Xem thêm: Phản Ứng Tráng Gương Của Anđehit, Glucozơ, Este Có Phản Ứng Tráng Bạc ?

c) nếu như số thực α vừa lòng điều kiện: 0≤α ≤πcosα  =athì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung tất cả cosin bởi a). Lúc đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

x =  ±  arccosa​ +  k2π  ;  k∈ℤ

d) các trường hợp đặc biệt:

+ khi a = 1; phương trình cosx = 1 có những nghiệm là: x  =  k2π;  k∈ℤ.

+ lúc a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là:x  = π+  k2π;  k∈ℤ

+ lúc a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: x  =π2 +​  kπ;  k∈ℤ.

Ví dụ. Giải các phương trình sau:

a) cos x=  cos π5;

b) cos  x =  22;

c) cos  x =  37.

Lời giải:

a) cos x=  cos π5⇔x= ± π5  +​k2π;   k∈ℤ.

b)cos  x =  22

Vì  22  =  cos π4nên :

cos  x =  22 ⇔cos x =  cos π4⇔x =  ± π4 +​ k2π;   k∈ℤ.

c) cos  x =  37⇔x =± arccos  37  +​k2π;  k∈ℤ.

7. Phương trình tanx = a.

- Điều kiện xác minh của phương trình là x ≠π2 +  kπ;  k∈ℤ.

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung gồm tang bởi a). Lúc đó, nghiệm của phương trình tanx = a là:

x = arctana+​ kπ;  k∈ℤ

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, cùng với α là một số trong những cho trước, có những nghiệm là:

x =α+​ kπ;  k∈ℤ

Tổng quát; tung f(x) = tan g(x) ⇒f(x)​  =g(x) +​ kπ;  k∈ℤ.

b) Phương trình tanx = tanβ° có những nghiệm là: x =  β0  +k.1800;  k ∈ℤ.

Ví dụ. Giải những phương trình:

a) tanx=  tan2π5;

b) tanx=  −18;

c) tan2x  = 33.

Lời giải:a) tanx=  tan2π5  ⇔x=  2π5  + kπ;  k∈ℤ.

b)tanx=  −18

⇔x=  arctan−18 +  kπ;  k∈ℤ.

c)tan2x  = 33

⇔tan2x=  tanπ6⇔2x=  π6+kπ        (k∈ℤ) ⇔x=  π12+ kπ2        (k∈ℤ)

8. Phương trình cotx = a

Điều kiện khẳng định của phương trình x ≠  kπ  ;  k ∈ℤ.

Kí hiệu x = arccota (đọc là ac– côtang – a; tức là cung bao gồm côtang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình cotx = a là:

x = arccota+​ kπ;  k∈ℤ

- Chú ý:

a) Phương trình cotx = cotα, cùng với α là một trong những cho trước, có những nghiệm là:

x =α+​ kπ;  k∈ℤ.

Tổng quát; cot f(x) = cot g(x) ⇒f(x)​  =g(x) +​ kπ;  k∈ℤ.

b) Phương trình cot x = cot β° có các nghiệm là: x =  β0  +k.1800;  k ∈ℤ.

Ví dụ. Giải những phương trình:

a) cotx=  cotπ9;

b) cotx=  203;

c) cot3x  = 33.

Lời giải:a)cotx=  cotπ9  ⇔x=  π9  + kπ;  k∈ℤ

b)cotx=  203 ;

⇔x=  arctan203 +  kπ;  k∈ℤ

c)cot3x  = 33

⇔cot3x=  cotπ3⇔3x=  π3+kπ  ⇔x=  π9+  kπ3       (k∈ℤ)

- Ghi nhớ.

Mỗi phương trình sinx = a (|a| ≤ 1); cosx = a (|a| ≤ 1), tanx = a; cotx = a gồm vô số nghiệm.

Giải những phương trình trên là tìm toàn bộ các nghiệm của chúng.

9. Phương trình hàng đầu đối với 1 hàm con số giác

9.1 Định nghĩa.

Phương trình bậc nhất đối với cùng một hàm con số giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là những hằng số (a ≠ 0) cùng t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ.

a) – 3sinx + 8 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) 6cotx + 10 = 0 là phương trình hàng đầu đối cùng với cotx.

9.2 bí quyết giải

Chuyển vế rồi phân chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta chuyển phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ. Giải các phương trình sau:

a) 2sinx – 4 = 0;

b) 3tanx− 3 =0.

Lời giải:

a) tự 2sinx – 4 = 0, gửi vế ta có: 2sinx = 4 (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) cho 2, ta được: sinx = 2.

Vì 2 > 1 cần phương trình đã cho vô nghiệm.

b) tự 3tanx− 3 =0, gửi vế ta có: 3tanx= 3 (3)

Chia cả 2 vế của phương trình (3) mang đến 3 ta được: tanx= 33.

⇔tanx= tan π6  ⇔x = π6 +​ kπ;  k∈ℤ.

9.3 Phương trình đưa về phương trình số 1 đối với cùng 1 hàm con số giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để lấy về phương trình số 1 đối với hàm con số giác hoặc mang đến phương trình tích nhằm giải phương trình.

- Ví dụ. Giải những phương trình:

a) sin2x – cosx = 0;

b) – 4sinx. Cosx. Cos2x = 1.

Lời giải:

a) Ta có: sin2x – cosx = 0

⇔2sinx. Cosx – cosx = 0

⇔cosx. (2sinx – 1) = 0

⇔cosx  = 02sinx−1=0

+ với cosx = 0 thìx  =  π2  +  kπ;  k∈ℤ

+ cùng với 2sinx – 1 = 0

⇔2sinx=1⇔sin x= 12⇔x =  π6  +​  k2πx = π− π6  +​  k2π =  5π6  +​  k2π ;  k ∈ℤ

Vậy phương trình đã mang đến có những nghiệm là: x  =  π2  +  kπ; x  =  π6  +  k2πvà x  =  5π6  +  k2π;  k∈ℤ.

b) – 4sinx. Cosx. Cos2x = 1.

⇔– 2sin2x. Cos2x = 1 (vì sin2x = 2sinx. Cosx)

⇔– sin4x = 1 sin 4x = – 1

⇔4x = − π2  + k2π⇔x =  −π8  + kπ2  ;  k∈ℤ

Vậy nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng x =  −π8  + kπ2  ;  k∈ℤ.

10. Phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác

10.1 Định nghĩa.

Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác là phương trình tất cả dạng:

at^2 + bt + c = 0

Trong kia a; b; c là những hằng số (a ≠ 0) với t là một trong trong những hàm số lượng giác.

- Ví dụ.

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0 là phương trình bậc hai so với cosx.

b) – 10tan2x + 10tanx = 0 là phương trình bậc hai đối với tanx.

10.2 cách giải.

Đặt biểu thức lượng giác có tác dụng ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta mang về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ. Giải phương trình: 2cos2x – 4 cosx = 0.

Lời giải:

Đặt t = cosx cùng với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 .

Ta được phương trình bậc nhì ẩn t là: 2t2 – 4t = 0. ⇔t=0t  =2.

Trong nhị nghiệm này chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì cos x = 0

⇔x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ

Vậy phương trình vẫn cho có nghiệm là x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

10.3 Phương trình mang đến dạng phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác.

- Phương pháp:

Sử dụng những công thức lượng giác vẫn học để biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác.

- Ví dụ. Giải phương trình 3sin2x – 6cosx – 3 = 0.

Lời giải:

Vì sin2x = 1 – cos2x yêu cầu phương trình đã cho tương đương:

3(1 – cos2x) – 6cosx – 3 = 0

⇔– 3cos2 x – 6cosx = 0 (*)

Đăt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 , phương trình (*) trở thành:

– 3t2 – 6t = 0⇔t=0t= −2 .

Trong nhì nghiệm này, chỉ tất cả nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì; cosx = 0 ⇔x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

Vậy phương trình vẫn cho có nghiệm là x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

- Ví dụ. Giải phương trình: sin2x – 3sinx. Cosx + 2cos2x = 0 (1).

Lời giải:

+ giả dụ cosx = 0 thì sin2x = 1 đề nghị phương trình (1) gồm :

VT(1) = 1 cùng VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn nhu cầu phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ vị cosx ≠ 0 buộc phải chia hai vế của phương trình (1) mang lại cos2 x, ta được:

tan2x – 3tanx + 2 = 0 (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t2 – 3t + 2 = 0

⇔t  =1t =2

Với t = 1 thì tanx = 1 ⇔x  = π4  +  kπ;  k ∈ℤ.

Với t = 2 thì tanx = 2 ⇔x  = arctan2 +  kπ;  k ∈ℤ.

Vậy phương trình đã đến có những nghiệm là x  = π4  +  kπ;  k ∈ℤvà x  = arctan2 +  kπ;  k ∈ ℤ.

11. Phương trình số 1 đối cùng với sinx và cosx.

11.1 Công thức đổi khác biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta tất cả công thức thay đổi sau:

asinx+ ​b.cosx  =   a  2+​  b2. sin (x+​α) (1)

Trong đó;cosα  =   aa2+ b2;  sin α=  ba2+ b2 .

11.2 Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c (2)

Với a; b; c ∈R; a, b không đồng thời bằng 0.

Xem thêm: Họ Nguyên Hàm Của 1/Sinx - Tìm Nguyên Hàm Của 1/Sinx Dx Câu Hỏi 701452

- nếu như a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) hoàn toàn có thể đưa ngay lập tức về phương trình lượng giác cơ bản.